תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006.

תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L A TEX 2ε ב- 18 בנובמבר 2007. עדכונים ותיקונים יופיעו ב-/ http://www.limsoup.net. לתגובות, לתיקונים ובכל עניין אחר, אנא כתבו ל- yuvak@gmx.net. סיכומים נוספים בסדרה: אלגברה לינארית 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 7 2006 אלגברה לינארית 2 חשבון אינפיניטסימלי 2 תורת הקבוצות תורת ההסתברות 1 מבנים אלגבריים 1 8 2007

תוכן עניינים 1 קבוצות ובנייתן............................... 5 1.1 הגדרה............................... 5 1.2 "בעיות" בתורת הקבוצות...................... 5 1.3 בניות של קבוצות.......................... 6 2 יחסים ופונקציות.............................. 10 2.1 יחסים............................... 10 2.2 פונקציות.............................. 12 2.3 בניות של פונקציות......................... 13 2.4 בניות שקשורות לפונקציות..................... 14 3 עוצמות.................................. 18 3.1 השוואת קבוצות.......................... 18 3.2 קבוצות סופיות........................... 20 3.3 קבוצות אינסופיות......................... 21 3.4 השערת הרצף............................ 27 3.5 חשבון עוצמות........................... 27 4 אקסיומת הבחירה............................. 29 5 הלמה של צורן............................... 30 5.1 יחסי סדר............................. 30 5.2 הלמה של צורן........................... 34 3

1 קבוצות ובנייתן 1 קבוצות ובנייתן 1.1 הגדרה 28.2.2007 מושג הקבוצה הוא המושג הבסיסי ביותר במתמטיקה, ולכן הוא קשה להגדרה; בשני הזרמים של תורת הקבוצות הנאיבי והאקסיומטי (שבו יש אקסיומטיקה של הדרישות מקבוצות ( 1 אי-אפשר להגדיר קבוצה. הגדרה (ניסיון). קבוצה היא אוסף של עצמים שונים. לא ברור מהו "אוסף" או מהם "עצמים". קבוצה באופן מעשי: b} x X.X = {a, b, c} = {a, a, a, c, b, העצם x שייך לקבוצה ;X x / X העצם x אינו שייך לקבוצה X. עצמים יכולים להיות קבוצות בעצמם. קבוצות מתקבלות גם על-ידי תכונות: אם X קבוצה ו-( x ) T תכונה 2 שתלויה ב- X {x X : T (x)},x היא קבוצת איברי X המקיימים את התכונה (x) T. קבוצות שימושיות: N קבוצת המספרים הטבעיים ({...,3,1},,2 ויש אסכולה שטוענת ש- N Q 0); קבוצת המספרים הרציונאליים; R קבוצת המספרים הממשיים; C קבוצת המספרים המרוכבים. כל טענה אפשר לנסח במונחי קבוצות; למשל, משפט פרמה ינוסח בלשון קבוצות באופן הבא: {(x, y, z, n) : x, y, z, n N, x, y, z > 0, n > 2, x n + y n = z n } = הגדרה. שתי קבוצות Y X, שוות אם הן מכילות בדיוק את אותם איברים; כלומר, לכל x X מתקיים,x Y ולכל x Y מתקיים.x X הגדרה. קבוצה X מוכלת בקבוצה Y אם לכל x X מתקיים.X Y :x Y אם X Y אבל,X Y נסמן.X Y אם קיים x X כך ש- X X Y,x Y לא מוכל ב-.Y יחס ההכלה טרנזיטיבי; כלומר, אם X Y ו- Z Y אז.X Z.Y ו- X X Y אם"ם X = Y.{x} X = x X שוויון הכלה 1.2 בעיות בתורת הקבוצות דוגמה. יהי n המספר הטבעי הקטן ביותר שלא ניתן להביע במאה אותיות בשפה העברית. מספר המשפטים בני עד מאה אותיות בשפה העברית הוא סופי. לכן לא ניתן לתאר כל מספר טבעי על-ידי עד מאה אותיות, ולכן n כנ"ל קיים. מצד שני, n מתואר על-ידי המשפט לעיל, שהוא בן פחות ממאה אותיות. הבעיה, למעשה, היא בכך שהמשפט מתייחס לעצמו (הוא (self referential ואיננו מהווה תיאור אמיתי. 1 המערכת האקסיומטית הסטנדרטית כיום היא אקסיומות צרמלו-פרנקל,ZFC) כאשר C מייצגת את אקסיומת הבחירה Choice.(Axiom of פרנקל היה בין הפרופסורים הראשונים באוניברסיטה העברית. 2 אינטואיטיבית, תכונה היא ביטוי שמקבל ערך true או.false 5

1.3 בניות של קבוצות 1 קבוצות ובנייתן תיאור אחר, יותר מתמטי, של הבעיה: נסתכל על {X Y. = X} : X / האם Y? Y אם כן, לפי הגדרת Y נקבל Y. / Y מצד שני, אם Y, / Y לפי הגדרת Y נקבל Y. Y הבעיה היא ש- Y "גדולה מדי": סתירה מתקבלת מהר כשמדברים על "קבוצת כל הקבוצות". אחת הדרכים להתגבר על כך היא לקחת קבוצה U ה"יקום"; כל העצמים שנדבר עליהם יהיו שייכים ל- U, וכל הקבוצות תהיינה תתי-קבוצות של U. זה יפתור את הבעיה, כי אז {X Y = X} U : x / לא תהיה איבר ב- U (אם U לא תרשה זאת). (ב- ZF, אחת האקסיומות דורשת X / X לכל X.) פרדוקס ראסל 1.3 בניות של קבוצות 1.3.1 הקבוצה הריקה קבוצה ריקה הגדרה. קבוצה ריקה היא קבוצה שלא מכילה אף איבר. טענה 1: הקבוצה הריקה מוגדרת היטב (יחידה); כלומר, קיימת קבוצה ריקה, ואם Y X, לא מכילות אף איבר, X. = Y (מכאן, נוכל לסמן את הקבוצה הריקה.) הוכחה. אם Y X, לא מכילות אף איבר, אז כל איבר ב- X הוא איבר ב- Y וכל איבר ב- Y הוא איבר ב- X, באופן ריק. לכן X. = Y קיום ניתן להראות על-ידי רשימה ריקה ({} = ) או על-ידי תכונה x}) {x U x =.( לכל קבוצה X,X. 1.3.2 איחוד וחיתוך קבוצות איחוד אם B,A קבוצות, נגדיר את האיחוד שלהן על-ידי B} A B = {x U x A x ואת חיתוך החיתוך על-ידי B}.A B = {x U x A x תכונות:.1 A A B = B A,A B = B (קומוטטיביות).2 C) (A B) C) = A (B C),(A B) C) = A (B (אסוציאטיביות) A (B C) = (A B) (A C),A (B C) = (A B) (A C).3 (דיסטריביוטיביות) A =,A A = A.4 A = A,A A = A.5 הוכחה ( 2 א ). נניח ש- C.x (A B) אז או x A B או.x C אם,A A B או x A ולכן C) x A (B או x B ולכן x B C ולכן C).x A (B אם.x A (B C) ולכן x B C אז,x C 6

1 קבוצות ובנייתן 1.3 בניות של קבוצות אם A 1,..., A n קבוצות, } n,a 1... A n = {x U x A 1... x A } n.a 1... A n = {x U x A 1... x A תכונות דומות מתקיימות. 1.3.3 הפרש ומשלים משלים הפרש אם A קבוצה, נגדיר את המשלים על-ידי A}.A C = {x U x / אם B,A קבוצות, נגדיר את ההפרש ביניהן על-ידי B}.A \ B = {x A x / תכונות: A \ A =.1 A A C = U.2 A \ B = A B C.3 (A C ) C = A.4 B C A C A B.5 A \ (A \ B) = A B.6 חוקי דה-מורגן.7 C (A B) C = A C B C,(A B) C = A C B (חוקי דה-מורגן) 1.3.4 קבוצת החזקה בהינתן A קבוצה, קבוצת החזקה מוגדרת כ-{ A P. (A) = B} U : B אם ב- A יש n קבוצת החזקה איברים, מספר האיברים ב-( A ) P הוא 2. n בהינתן קבוצות A 1,..., A n במצב כללי, כמה קבוצות ניתן לקבל על-ידי חיתוכים, איחודים ולקיחת הפרש? עבור שתי קבוצות,B,A נוכל לקבל,B \ A,A \ B,A B,A B,,B C,A C,U,B,A,(A \ B) C,(A B) C,(A B) C,AΔB = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B).(A B) (A B) C,(B \ A) C עבור שלוש קבוצות, יש פירוק של U ל- 8 "חתיכות" זרות, V; 1,..., V 8 מכל תת-קבוצה של 8},... {1, אפשר להרכיב קבוצה: למשל, 7} {2, 5, = I.V 1 V 5 V 7 } מספר הקבוצות הכולל הוא כמספר תתי-הקבוצות של, 8... 1, כלומר, = 256 8.2 V 1 V2 V 3 V 6 V 7 V 4 V 8 V 5 7

1.3 בניות של קבוצות 1 קבוצות ובנייתן V ε1...ε n = A ε1 באופן כללי, אם A 1,..., A n במצב כללי, יש 2 n קבוצות Aεn n... 1 {V ε1...ε n מהווה פירוק } ε1,...,ε n {0,1} האוסף.(A εi i = { A i ε i = 0 A C i ε i,ε = 1 1,..., ε n {0, 1}) של U לקבוצות זרות לא-ריקות. לכל 1}} {0, n I {ε 1,..., ε אפשר להתאים קבוצה.W I = ε V 1,...,ε n I ε 1...ε n האוסף i {0,1}} {W I } I {ε1,...,ε n ε הוא קבוצת כל הקבוצות המתקבלות מ- A 1,..., A n על-ידי חיתוכים, איחודים ומשלימים. W I W J אם.I J מספר הקבוצות הכולל: 2. 2n 1.3.5 איחודים וחיתוכים כלשהם בהינתן משפחה I} {A α : α של קבוצות כלומר, I קבוצת אינדקסים ולכל 7.3.2007 A α α I קבוצה נסמן ב- α α I A את הקבוצה כך ש- α x α I A אם ורק אם קיים a I כך ש-.x A α למשל, אם 2} {1, = I אז α I A α = A 1 A 2. באופן דומה, החיתוך של המשפחה I} α I A α {A α : α הוא הקבוצה כך ש- α x α I A אם ורק אם לכל.x A α a I תכונות: α I X α = γ Γ ( α I γ.1 נניח.{X γ : γ I},I = γ Γ I γ אז מתקיים ) α X (אסוציאטיביות מוכללת).x γ Γ ( α I γ הוכחה. צריך להוכיח ש- α x α I X אם"ם ) α X ( =) אם x α I X α אז קיים α I כך ש-.x X α קיים γ Γ כך ש-,α I γ.x α I γ לכן X α.x α I γ לכן קיים X α כך ש- γ Γ אז קיים x γ Γ ( α I γ (= ) אם ) α X.x α I X α ולכן,x X α כך ש- α I γ. α I X α = γ Γ ( α I γ באופן דומה, ) α X A ( α I B α) = α I (A B α) וכמו-כן,A ( α I B α) = α I (A B α).2 (דיסטריביוטיביות מוכללת) הוכחה. צריך להוכיח ש-( α x A ( α I B אם"ם α).x α I (A B אם ) α x A ( B אז או x A ולכן x A B α לכל,α ולכן ) α x (A B או.x α I (A B α) ולכן α לכל x A B α לכן,α I לכל x B α ואז,x B α להיפך, אם α) x α I (A B אז לכל.x A B α α I אם,x A בוודאי.x A ( B α ) ולכן x α I B α לכן,α לכל x B α אחרת, ;x A ( B α ) הגדרה. קבוצות B,A נקראות זרות אם = B.A באופן כללי יותר, משפחה I} {X α : α נקראת זרה אם לכל X α X β = α β I (כלומר, X α זרים בזוגות). 8

1 קבוצות ובנייתן 1.3 בניות של קבוצות 1.3.6 מכפלה קרטזית זוג סדור מכפלה קרטזית בקבוצות אין חשיבות לסדר: x}.{x, y} = {y, כדי להגדיר זוג סדור כך ש-( y (x, y) = (x, אם"ם x,y = y,x = נגדיר y}}.(x, y) = {{x}, {x, למה :2 ) y (x, y) = (x, אם"ם x.y = y,x = הוכחה. אם x x = ו- y,y = אז } {x {x} = ו-{ y {x, y} = {x, ולכן ) y.(x, y) = (x, מצד שני, אם }} y {{x}, {x, y}} = {{x }, {x, אז y}} {x} {{x}, {x, ולכן מתקיים או } {x {x} = או } y.{x} = {x, במקרה הראשון, x ;x = במקרה השני, x x = (כי {x} קבוצה בעלת איבר אחד). מכאן שמתקיים }} y,{{x}, {x, y}} = {{x}, {x, לכן.y = y ולכן {x, y} = {x, y } בהינתן.X Y = {(x, y) : x X, y Y },Y,X דוגמה. R R המישור האוקלידי; Z Z R R קבוצת הנקודות השריג במישור; d] [a, b] [c, מלבן במישור; >0 R R חצי המישור העליון; R >3 R חצי-מישור ימני. כדי להגדיר מכפלה קרטזית סופית, נגדיר n -ייה סדורה כך ש-( (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n אם"ם x i = y i לכל,i = 1... n ואז יתקיים } i.x 1... X n = {(x 1,..., x n ) x i X יש לשים לב שטכנית, הקבוצות Z) (X Y ) Z,X (Y ו- Z X Y אינן זהות. תכונות: X (Y Z) = (X Y ) (X Z).1 X (Y Z) = (X Y ) (X Z).2 Y = או X = X Y =.3.4 אם,Y Y,X X אז X Y X Y 9

2 יחסים ופונקציות 2 יחסים ופונקציות 2.1 יחסים 2.1.1 הגדרה יחס תחום טווח הגדרה. יחס בין X ל- Y הוא תת-קבוצה של X. Y (אם X, = Y נאמר שהיחס הוא יחס על.(x, y) R אם"ם xry יחס, נסמן R X Y אם (.X הגדרה. תחום של יחס.X D(S) = {x X : y Y : xsy} :S אם,D(S) = X נאמר ש- S הוא יחס מ- X ל- Y. הגדרה. טווח של יחס.Y R(S) = {y Y : x X : xsy} :S אם,R(S) = X נאמר ש- S הוא יחס בין X על Y. דוגמה. X {(x, x) : x X} X == (אלכסון) } 2 {(x, y) R 2 : x y z R y x = z = (מתחת האלכסון) R = {(m, n) Z 2 : מתחלק ב- 7 m n} R = {(A, B) P ({1,..., n}) : A B R = {(m, A) {1,..., n} P ({1,..., n}) : m A} 2.1.2 יחסי שקילות יחס רפלקסיבי יחס סימטרי יחס טרנזיטיבי יחס שקילות הגדרה. יחס R על X נקרא יחס רפלקסיבי אם, לכל.xRx x, X הגדרה. יחס R על X נקרא יחס סימטרי אם, לכל.xRy yrx,x, y X הגדרה. יחס R על X נקרא יחס טרנזיטיבי אם, לכל.xRz = yrz,xry,x, y, z X הגדרה. יחס R על X נקרא יחס שקילות אם הוא יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. דוגמה. יחס השוויון X} R = {(x, x) : x הוא יחס שקילות. היחס המלא R = X X הוא יחס שקילות. היחס הריק = R הוא סימטרי וטרניזיטיבי, אבל לא רפלקסיבי. היחס } 2 {(x, y) R 2 : z R y x = z = טרנזיטיבי ורפלקסיבי, אבל לא סימטרי. (כנ"ל לגבי יחס ההכלה ב-({ n P.),1})..., 10

2.1 יחסים 2 יחסים ופונקציות היחס על } A P ({1,..., n}) \ { } = {A {1,..., n} : המוגדר על-ידי,n רפלקסיבי וסימטרי, אך לא טרנזיטיבי. (אם 4 R = {(A, B) : A B } 2} {1, =,A A B,C = {3, 4},B = {2, 3} ו- C,B אך (.A C = היחס n} m מתחלק ב- 7 R = {(m, n) Z 2 : הוא יחס שקילות. הוכחה. לכל n n = 0,n Z מתחלק ב- 7 (היחס רפלקסיבי.) אם m n מתחלק ב- 7, כך גם n) n m = (m (היחס סימטרי.) אם y z = 7b,x y = 7a אז b) x z = (x y) + (y z) = 7(a + (היחס טרנזיטיבי.) הגדרה. אם R יחס שקילות על X, מחלקת השקילות של x X כלשהו מוגדרת כקבוצה.T = [x] = {y X : xry} X הגדרה. קבוצה { } \ (X) T P נקראת חלוקה של X אם מתקיימים (א) A ; A T (ב) ;X = T = A T A (ג) = B. A, B T A B = A מחלקת שקילות חלוקה טענה 3: אם R יחס שקילות, אז {X [x]} : x מהווה חלוקה של X. הוכחה. [x] x, בגלל רפלקסיביות R; כלומר, כל [x] כל איבר ב- T הוא תת-קבוצה לא-ריקה של X. צ"ל כי = [y] [x] אם [y].[x] נניח בשלילה שיש [y] z [x] ונראה ש-[ y ].[x] = אז.yRz,xRz בגלל הסימטריות,.zRx בגלל הטרנזיטיביות,.yRz zrx = yrx כעת,.[y] [x] באופן דומה,.z [y] לכן,yRz אז yrx xrz אם ;xrz אז z [x] אם :[x] [y]. [x] = X = x [x] 14.3.2007 להיפך, בהינתן חלוקה T של X ניתן להגדיר יחס A} :R = {(x, y) : A T x, y טענה 4: R הוא יחס שקילות. הוכחה. רפלקסיביות: T ) x X A T : x A מכסה את כל.(X לכן.xRx סימטריות: R סימטורי באופן ברור (שייכות לקבוצה היא ללא סדר). טרנזיטיביות: נניח.yRz xry אז קיימות B, A T כך ש- A.y, z B,x, y לכן.xRz = x, z A = A = B = A B = y A B מנה על-ידי יחס ושוב, לכל :[x] = {y X : B T x, y B} = A,(x X) x A T אם B T כך ש- B x אז A = B (אחרת = B A). כלומר, כל מחלקת שקילות היא איבר בחלוקה, וכל איבר בחלוקה הוא מחלקת שקילות. כל חלוקה מתקבלת על-ידי מחלקות שקילות של יחס שקילות וכל יחס שקילות מתקבל על-ידי חלוקה. נסמן את המנה של X ע"י R ב-{ X X/R = [x]} : x (זו החלוקה לפי יחס השקילות). אם שני איברים ב- X/R שווים, הם מחלקות שקילות של איברים שקולים ב- R. 11

2 יחסים ופונקציות 2.2 פונקציות דוגמה. מסתכלים ביחס השקילות 7h}.R = {(m, n) Z : h Zm n = יש שבע מחלקות שקילות: [6]} [5], [4], [3], [2], [1], {[0], =.Z/R דוגמה (בניית השלמים מתוך הטבעיים). נסתכל על N N ונגדיר עליה יחס שקילות על-ידי.(a, b) (c, d) a + d = b + c ניתן לבדוק ש- הוא יחס שקילות, וניתן לחשוב על מחלקות השקילות בתור המספרים השלמים 1)] + 1, [(n n = [(1, n)],n = 1 3 לכל n. N 4 (באותו אופן ניתן להגדיר את המספרים הרציונאליים מתוך המספרים השלמים או הטבעיים.) 2.2 פונקציות הגדרה. פונקציה f מ- X ל- Y היא יחס בין X ל- Y שמקיים. x X!y Y (x, y) f (אם,(x, y) f מסמנים f(x) (.y = פונקציה דוגמה. לכל קבוצה X יש id X : X X המוגדרת על-ידי X} ;id X = {(x, x) : x כלומר,. x X id X (x) = x דוגמה. ל- X A תת-קבוצה ניתן להגדיר פונקציה ι : A X כך ש- a a A ι(a) = על-ידי.ι = {(a, a) : a A} A X דוגמה (העתקת המנה). אם R יחס שקילות על X, העתקת המנה f : X X/R מוגדרת על-ידי f.f = {(x, A) : x A} X X/R היא פונקציה כי כל איבר נמצא במחלקת שקילות אחת ויחידה. (יכולנו להגדיר פונקציה דומה לכל חלוקה שהיא.) להיפך, בהינתן פונקציה,f : X Y אפשר להגדיר יחס שקילות כך ש- x 1 x 2 ) 2.f(x 1 ) = f(x קל לבדוק שזה יחס שקילות ושכל יחס שקילות אפשר להגדיר על-ידי פונקציה (פונקצית המנה). הגדרה. פונקציה f : X Y נקראת על Y אם. y Y x X f(x) = y הגדרה. פונקציה f נקראת חד-חד ערכית אם f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 (או, באופן שקול, אם ) 2.( x 1 x 2 f(x 1 ) f(x הגדרה. פונקציה f : X Y שהיא חד-חד ערכית ועל נקראת התאמה בין X ל- Y X, Y. נקראות שקולות אם קיימת התאמה ביניהן; אומרים של- X ול- Y יש אותה עוצמה. פונקציה על פונקציה חד-חד ערכית התאמה קבוצות שקולות תמורה הגדרה. תמורה (של X) היא התאמה מ- X לעצמו. 5 דוגמה. n} ;X = {1,..., מספר התמורות הוא.n! 3 נעיר כי k)]. k N [(n + 1, 1)] = [(n + k, k)], [(1, n)] = [(1 + k, n + 4 למשל,.}.. 2)], [(2, 1)], {[(1, = 1 = 1,0.}.. 2)], [(4, 1)], {[(3, =.2 למעשה, אוסף הזוגות הסדורים.z מזוהה עם המספר a b = z כך ש- Z (a, b) 5 מההגדרה ומטענות שמיד נוכיח נובע שאם f תמורה, גם 1 f תמורה; אם g f, תמורות, גם g f תמורה. כמו-כן, נעיר שפונקצית הזהות id X היא תמורה. 12

2 יחסים ופונקציות 2.3 בניות של פונקציות 2.3 בניות של פונקציות 2.3.1 הרכבת פונקציות בהינתן יחס R בין X ל- Y ויחס S בין Y ל- Z, נגדיר את ההרכבה שלהם S R באופן הבא.S R = {(x, z) X Z : y Y (x, y) R (y, z) S} טענה 5: אם f פונקציה מ- X ל- g Y, פונקציה מ- Y ל- Z, אז g f היא פונקציה מ- X ל- Z. הוכחה. קיום: לכל x X קיים y Y כך ש- f,(x, y) כי f פונקציה. קיים z Z כך ש- g,(y, z) כי g פונקציה. לכן,(x, z) g f לפי הגדרת ההרכבה. יחידות: אם,(x 1, z 1 ), (x 2, z 2 ) g f אז קיימים y 1, y 2 Y עבורם,(x 1, y 1 ) f y 1 = גם y 2 פונקציה, מכך ש- f,x 1 = אם x 2.(y 2, z 2 ) g,(x 2, y 2 ) f,(y 1, z 1 ) g ואז, מכך ש- g פונקציה,.z 1 = z 2 צמצום של פונקציה הרחבה של פונקציה דוגמה. נניח f : X Y פונקציה, A X תת-קבוצה. ι A (x) = x,ι A : A X לכל,x A העתקת שיכון. g = f A = f ι A : A Y הצמצום של f ל- A.g הרחבה של היא אומרים ש- f.( x A f A (x) = f(x)) תכונות:.1 בהינתן (h g) f = h (g f),h : Z W,g : Y Z,f : X Y 6 (אסוציאטיביות) הוכחה. = f)(x)) ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g (h (g f))(x).2 אם g : Y Z,f : X Y חח"ע, אז גם g f : X Z חח"ע..3 אם g : Y Z,f : X Y על, אז גם g f : X Z על. מתכונות אלה נובע שאם X Y ו- Z Y אז גם X Z (כלומר, יש התאמה ביניהם). 2.3.2 הפונקציה ההופכית בהינתן יחס R בין X ל-,Y ניתן להגדיר R בין Y ל- X,.R = {(y, x) Y X : (x, y) R} דוגמה. אם R יחס על R = R,X אם"ם R סימטרי. טענה 6: תהי f : X Y פונקציה. אז f היא פונקציה מ- Y ל- X אם"ם f חח"ע ועל. הוכחה. f f y Y x X (y, x) היא על. f y Y, x 1, x 2 X (y, x 1 ), (y, x 2 ) f = x 1 = x 2 חח"ע.. x X f 1 (x) = f 2 (x) אם"ם f 1 = f 6 2 13

2.4 בניות שקשורות לפונקציות 2 יחסים ופונקציות אם f : X Y התאמה, נסמן ב- X f 1 : Y את הפונקציה f המתאימה ליחס ההפוך. נשים לב ש- y ;x = f 1 (y) f(x) = כלומר, ) f (y, x) f 1 (x, y) (. תכונות:.1 אם X Y גם Y X.2 אם f : X Y היא התאמה, f f 1 = id Y,f 1 f = id X (g f) 1 = f 1 g 1.3 הרבה פעמים יש שקילות "טבעית" בין קבוצות שונות. למשל: 21.3.2007 X Y Y X.1 טענה 7: X Y Z (X Y ) Z X (Y Z).2 הוכחה..1 נגדיר f : X Y Y X כך ש-( x.f((x, y)) = (y, כלומר, נגדיר } 1.f = {((x 1, y 1 ), (y 2, x 2 )) : x 1, x 2 X, y 1, y 2 Y, y 2 = y 1, x 2 = x קל לבדוק שזו התאמה. הפונקציה ההפוכה לה היא g : Y X X Y המוגדרת על-ידי.g(y, x) = (x, y).2 ההתאמות הן z)).(z Z,y Y,x X) (x, y, z) ((x, y), z) (x, (y, בניות שקשורות לפונקציות 2.4 אוסף הפונקציות 2.4.1 בהינתן קבוצות,Y,X מסמנים את אוסף הפונקציות מ- X ל- Y ב-= } Y Y X = {f : X.{f X Y : x X!y Y (x, y) f}.1 = X (אם X אחרת, { } = ( טענה :8 (X Y ) Z X Z Y Z.2 (X Y ) Z X Y Z.3 הוכחה. 1. ברור..2 נבנה Ψ : X Z Y Z (X Y ) Z על-ידי (f, g) X Z Y Z כלומר,,f : Z X,Ψ(f, g) : Z X Y הגדרנו.Ψ((f, g))(z) = (f(z), g(z)),z Z,g : Z Y כלומר.Ψ : X Z Y Z (X Y ) Z צריך לבדוק ש- Ψ היא חח"ע ועל. נניח ש-((.Ψ((f 1, g 1 )) = Ψ((f 2, g 2 אז מתקיים ))(z) Ψ((f 1, g 1 ))(z) = Ψ((f 2, g 2 לכל ;z Z כלומר, (z)).(f 1 (z), g 1 (z)) = (f 2 (z), g 2 לכן, לכל f 1 (z) = f 2 (z),z ו-( z ).g 1 (z) = g 2 מכאן,.(f 1, g 1 ) = (f 2, g 2 ) g 1 g 2,f 1 f 2 14

2 יחסים ופונקציות 2.4 בניות שקשורות לפונקציות נסתכל על ההעתקות π 2 : X Y Y,π 1 : X Y X המוגדרות על-ידי.π 2 ((x, y)) = y,π 1 ((x, y)) = x בהינתן,F : Z X Y נסתכל על ההרכבות Ψ(f, g)(z) = נציב ונקבל.g = π 2 F : Z Y,f = π 1 F : Z X (z).(f(z), g(z)) = ((π 1 F )(z), (π 2 F )(z)) = F 7 (כלומר, לכל איבר בטווח יש מקור; הפונקציה ההפוכה ל- Ψ היא T : (X Y ) Z X Z Y Z המוגדרת על-ידי (.T (F ) = (π 1 F, π 2 F ).3 צריך למצוא התאמה כך ש- X.f : Z X Y h : Y Z נסתכל על ההעתקות (f(z))(y) h(y, z) = וההפוכה לה z).(f(z))(y) = h(y, קל לראות שהפונקציות הן הפוכות. 2.4.2 מכפלה קרטזית כללית ואקסיומת הבחירה בהינתן {I X} α : α קבוצה של קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן היא X α := {f : I X α : α I f(α) X α } ( X α ) I α I α I α I מכפלה קרטזית כללית כלומר, איברי α I X α הם "רשימות" (x α ) α I כך ש- x α X α הוא האיבר בקואורדינטה.α I דוגמה. } 2 i=1,2 X i = {f : {1, 2} X 1 X 2 : f(1) X 1, f(2) X (כאשר (.X 1 X 2 מתאים ל- (זה.(I = {1, 2} דוגמה. אם X α = X לכל,α I אז α I X α = X I. אקסיומת הבחירה ברור שאם קיים α I כך ש- = α X אז = α α I X. פחות ברור (אך אינטואיטיבי) שאם,I X α לכל,α I אז α α I X. העובדה הזו נקראת אקסיומת הבחירה. 8 טענה :9 ) α α I X α) Z α I (XZ ( הוכחה. ההתאמה היא ) α,ψ(f) : I α I XZ α,ψ : ( α I X α) Z α I (XZ.(f(z) α I X α) (Ψ(f)(α))(z) = f(z)(α) X α בניית הפונקציה ההפוכה כתרגיל. 2.4.3 הטלות I} {X α : α קבוצות,.J I אפשר להגדיר P r J : α I X α α J X α על-ידי.(f α I X α) P r J (f) = f J α I X α 7 לכל.a = (π 1 (a), π 2 (a)),a X Y 8 הכוונה לכך שצריך לבחור איבר מכל קבוצה על-מנת לקבל קבוצה. באקסיומטיקה מניחים קיום של איחודים, קבוצות חזקה וכו כאן דורשים שהקבוצה לא תהיה ריקה, וזה דבר שונה. מסתבר שנובעות מאקסיומת הבחירה מסקנות מפתיעות כמו פרדוקס בנך-טרסקי. 15

2.4 בניות שקשורות לפונקציות 2 יחסים ופונקציות ברור שאם f : I α I X α כך ש- f(α) X α לכל,α I אז g = f J (כלומר g(α) X α,(g : J α J X α לכל.α J מאקסיומת הבחירה נובע ש- P r j הן על אם. α I X α 2.4.4 התמונה הישרה וההפוכה בהינתן,f : X Y אפשר להסתכל על הטווח של f כלומר, הקבוצה := X} {f(x) : x.y על, הטווח הוא f אם.{y Y : x X f(x) = y} באופן כללי, לכל A, X הטווח של f A התמונה של A על-ידי f מסומן על-ידי A}.f(A) = {f(x) : x למעשה, כך קיבלנו פונקציה ) (Y, 9 f : P (X) P שנקראת תמונה ישרה התמונה הישרה (או התמונה) של f. תכונות: f( ) =.1 X משפחת תתי-קבוצות של {X α : α I} לכל f( α I X α) = α I f(x α).2.3 α) f( α I X α) α I f(x (שוויון אם f חח"ע).4 f(b) f(a \ B) f(a) \ (שוויון אם f חח"ע) בדומה, לכל פונקציה מוגדרת התמונה ההפוכה (X) f 1 : P (Y ) P על-ידי = (B) f 1.f זהות לשל f התאמה, התמונה הישרה וההפוכה של 1 f אם.{x X : f(x) B} X התמונה ההפוכה תכונות: f 1 ( ) =.1 f 1 (Y ) = X,f 1 ( α I Y α) = α I f 1 (Y α ).2 f 1 ( α I Y α) = α I f 1 (Y α ).3 f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B).4 B Y לכל f(f 1 (B)) B ;A X לכל f 1 (f(a)) A.5 28.3.2007 טענה 10: התכונות הבאות של התאמות שקולות:.1 Y f : X חח"ע.2 ) (Y f : P (X) P חח"ע.3 (X) f 1 : P (Y ) P על 9 נעיר שזהו סימון זהה לפונקציה שונה. 16

2 יחסים ופונקציות 2.4 בניות שקשורות לפונקציות A A = f 1 (f(a)).4.5 לכל f g,g : Z X קבועה = g קבועה הוכחה. (5 =1) אם f g קבועה, אז )) f(g(z. z, z Z f(g(z)) = בגלל ש- f חח"ע, ) g(z g = g(z) = קבועה. (1 =5) אם f לא חח"ע, קיימים x x X כך ש-( f(x.f(x) = נגדיר g : {0, 1} X ע"י,g(1) = x,g(0) = x ואז g(1) f g(0) = f אבל g לא קבועה. (3,2 =4) ברור, כי (X).f 1 f = id P (X),f 1 f : P (X) P זו פונקציה חח"ע, לכן f חח"ע ו- 1 f על. (1= 4) תרגיל. (1 =2) אם x x כך ש-( f(x,f(x) = אז f({x}),f({x, x }) = {f(x)} = לכן ) (Y f : P (X) P לא חח"ע. (1 =3) אם x x כך ש-( f(x,{x} = f 1 (B),f(x) = אז f(x) B ולכן,f(x ) B ומכאן (B).x f 1 לכן נקבל x x = סתירה. כלומר, x לא נמצא בתמונה ההפוכה, ולכן היא לא על. 17

3 עוצמות 3 עוצמות 3.1 השוואת קבוצות על-פי הגדרה, (X X Y שקולה ל- Y) אם קיימת התאמה f. : X Y היינו רוצים להגדיר התאמה מקבוצת כל הקבוצות ל"עוצמות" כך ש-. X = Y X Y מתי קיים אי-שוויון? למשל, מתי Y X? יש שתי הגדרות אפשריות:.1 קיימת תת-קבוצה B Y כך ש- B ;X כלומר, קיימת פונקציה חח"ע.f : X Y 2. קיימת פונקציה מ- Y ל- X שהיא על. טענה 11: הגדרות אלה שקולות. הוכחה. (1 =2) נניח כי g : Y X על. נראה שקיימת f כך ש-.g f = id X נסתכל על ({x}) x X g 1 (לפי אקסיומת הבחירה: g על, לכן לכל.(g 1 ({x}) x נוכל לבחור ({x}) f x X g 1 כלומר, פונקציה = ({x}) f : X x X g 1 = g על (X) g 1 ( x X {x}) = g 1 עבורה מתקיים ({x}). x X f(x) g 1 אז Y.(g f)(x) = g(f(x)) = x נעיר כי אם X X ו- Y Y אז Y : X Y X אם יש התאמות g Φ f 1 : X Y חח"ע נוכל לבנות Φ : X Y בהינתן,g : Y Y,f : X X חח"ע, ולהיפך. כמו-כן, Z : X Z = X Y אם f : X Y ו- Z g : Y חח"ע, הרכבתן g f : X Z חח"ע. יש כמה שאלות שעולות מההגדרה:.1 האם אם Y X ו- X Y אז Y? X = (כן; ר משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין.).2 האם, בהינתן X ו-,Y תמיד Y X או X? Y (כן, בהינתן אקסיומת הבחירה.) 3. האם, בהינתן X, תמיד קיים Y כך ש- X? < Y (כן; ר משפט קנטור). 4. האם קיימת מערכת נציגים לעוצמות? כלומר, האם קיימת "קבוצה" C כך שלכל קבוצה X קיים A C יחיד כך ש- A X? = (כן, בהינתן אקסיומת הבחירה.) משפט 12 (קנטור): (X) X < P הוכחה. ברור ש- ( X ) : X P נוכל להגדיר (X) f : X P על-ידי (X),f(x) = {x} P וזוהי פונקציה חח"ע. נראה כי (X) X = P כלומר, נראה שלא קיימת (X) f : X P על. נניח בשלילה שקיימת f כזו. נסתכל על f(x)}.a = {x X : x / מכיוון ש- f על, ) 0. x 0 X A = f(x האם?x 0 A אם כן, לפי הגדרת A נקבל x 0 / f(x 0 ) = A סתירה. אם לא, לפי הגדרת,A ) 0 x 0 / A = f(x ולכן x A סתירה. מכאן, f לא על. 18

3.1 השוואת קבוצות 3 עוצמות 1 x A = (x).f (A) = X A עבור דוגמה. נגדיר F : P (X) {0, 1} X על-ידי 0 x / A X, = N סדרות של אפסים ואחדים= P. (N),0} {1 N נניח שיש לנו סדרה של סדרות של אפסים ואחדים,..., 2.f(n) = ε n 1, ε n נגדיר סדרה... 2, x = ^ε 1 1, ^ε 2 כאשר.^ε n n = 1 ε n n וכך f(n) x לכל n, כי אין סדרה שאיבריה זהים. לכן f לא על מצאנו איבר שלא בתמונה (כמו קודם, למעשה בנינו אותה קבוצה). באותו אופן אפשר להוכיח ש- N > [1,0]. משפט 13 (קנטור-שרדר-ברנשטיין): אם Y X ו- X Y אז Y. X = 18.4.2007 הוכחה. תהיינה g : Y X,f : X Y חח"ע. בהינתן A X כך ש- X\A,g(Y \f(a)) = f(x) x A X. = Y ועל, ואז חח"ע קל לראות ש- h.h(x) = נגדיר (g Y \f(a) ) 1 (x) x / A נותר למצוא A כזאת. נגדיר (X) Φ : P (X) P על-ידי f(a)).φ(a) = X \ g(y \ אנו בעצם מחפשים נקודת-שבת של A X) Φ כך ש- A Φ(A) = כלומר, f(a)),a = X \ g(y \ תנאי ששקול לכך ש- A.(g(Y \ f(a)) = X \ נשים לב ש- Φ מונוטונית: Φ(B) Φ(A) אם.A B למה :1.13 לכל פונקציה מונוטונית (X) Φ : P (X) P קיימת נקודת שבת (X).D P הוכחה. נגדיר (X) B ) B = {A P (X) : A Φ(A)} P כי B,( ונגדיר.D = B = {A : A Φ(A)} = {x X : A X x A Φ(A)} X נראה שזו נקודת שבת. ( ) נראה שלכל A B מתקיים Φ(D).A אם A B אז Φ(A) A וגם.A D לכן, ממונוטוניות.A Φ(A) Φ(D),Φ לכן Φ(D).D ( ) מכיוון ש-( Φ(D,D מתקיים.D B ממונוטוניות Φ(D) Φ(Φ(D)),Φ ולכן.Φ(D) D אז.Φ(D) B בסך-הכל קיבלנו ש- D,Φ(D) = כנדרש. 10 לכן קיימת A כך ש- A.g(Y \ f(a)) = X \ מסקנה 14: בהינתן Y X, קבוצות, מתקיימת לכל היותר אחת משלוש האפשרויות הבאות:. X > Y ; X < Y ; X = Y הוכחה. לפי הגדרה, לא ייתכן ששוויון מתקיים יחד עם אחד מאי-השוויונים. נניח בשלילה ש- X < Y וגם Y ; X > אז Y X וגם Y, X ומהמשפט נקבל Y, X = בסתירה לכך שמתקיים אי-שוויון. 11 10 בדיעבד, גילינו ש- B D; כלומר, יכולנו לבחור את הקבוצה המקסימלית מתוך B, במקום האיחוד. אבל לא ידענו זאת מראש. 11 בהמשך נראה שבדיוק אחת מהאפשרויות מתקיימת: כלומר, Y X או Y. X 19

3 עוצמות 3.2 קבוצות סופיות.x x a b a דוגמה..1 1] [0, b],(a < b) [a, על-ידי העתקה 2. קבוצת הטבעיים שקולה לקבוצת הטבעיים הזוגיים: n. 2n.x tan x :( π 2, π 2 ) R.3.x log x :(0, ) R.4 3.2 קבוצות סופיות הגדרה. נגדיר n} N n = {1,..., לכל.n N קבוצה A נקראת סופית אם קיים n N כך ש-.A N n קבוצה סופית טענה 15: n N אינה שקולה לתת-קבוצה חלקית-ממש של עצמה. הוכחה. אחרת, קיימת f : N n N n חח"ע ולא על. נראה באינדוקציה שאם f : N n N n חח"ע אז היא על. עבור = 1 n, f היא בהכרח פונקציית הזהות. כעת, נניח שהטענה מתקיימת עבור 1 n. עבור,f Nn 1 : N n 1 N n 1 חח"ע, מכיוון ש- f,f(n) = n חח"ע. אם f : N n N n תהי,n האינדוקציה, הצמצום הוא על. אחרת,.f(n) = k < n נגדיר t : N n N n על-ידי ומהנחת i i k, n,t t = id Nn.t(i) = n i = k לכן t חח"ע ועל. נגדיר g.g = t f חח"ע כך k i = n ש- n.g(n) = t(k) = אז לפי המקרה הקודם, g היא על, ולכן f = t g היא על. כמו-כן, כל פונקציה f : N n N n על היא חח"ע: נגדיר פונקציה g : N n N n על-ידי.g(i) = min f(j)=i j ברור ש- g חח"ע, כי.f g = id Nn מהטענה הקודמת נובע ש- g על, ולכן 1 g.f = f g g 1 = (f g) g 1 = id Nn g 1 = אז גם 1 g f = חח"ע. מסקנה 16: קבוצה סופית אינה שקולה לתת-קבוצה חלקית-ממש של עצמה. הוכחה. הטענה שקולה לכך שאם A סופית, f : A A חח"ע אז f על. אם g : N n A חח"ע ועל, אז g 1 f g חח"ע. לפי הטענה הקדומת, היא גם על, לכן 1 g f = g (g 1 f g) על. באותו אופן, אם A סופית ו- A f : A על, f חח"ע. מסקנה :17 אם N n N m אז.n = m הוכחה. אחרת, אם למשל,m < n אז,N n N m N n בסתירה לטענה הקודמת. טענה 18: כל תת-קבוצה של N n היא סופית. 20

3.3 קבוצות אינסופיות 3 עוצמות הוכחה. באינדוקציה על.n עבור = 1,n תת-קבוצה של N 1 היא 12 או N 1 שתיהן סופיות. כעת, נניח שהטענה מתקיימת עבור 1.n עבור,n תהי.J N n אם n / J אז n 1,J N הנחת האינדוקציה, ולפי הנחת האינדוקציה, J סופית. אחרת, n J ו- n 1.J \ {n} N לפי f(x) x n x (כאשר J \ {n} N m סופית. אז m+1,j N על-ידי העתקה m + 1 x = n f : J \ {n} N m חח"ע ועל). מסקנה 19: תת-קבוצה של קבוצה סופית היא סופית. הוכחה. אם A סופית, קיימת f : A N n שקילות. עבור.f(B) N n,b A לפי הטענה, f(b) סופית. f(b) B, לכן B סופית (יחס השקילות טרנזיטיבי). טענה :20 אם B,A סופיות, אז A B,A B סופיות. הוכחה. A B = A B A סופית. A) A B = A (B \ ו- = A).A (B \ אז אפשר להניח, בלי הגבלת הכלליות, עם שקילויות g,f בהתאמה. אז A B N n+m ש- =.A B במקרה זה, B N m,a N n f(x) x A.h(x) = על-ידי שקילות h, כאשר g(x) + n x B 1. איחוד סופי של קבוצות סופיות הוא סופי. טענה 21: 2. מכפלה קרטזית סופית של קבוצות סופיות היא סופית. 3. קבוצת החזקה של קבוצה סופית היא סופית. הוכחה. 1. באינדוקציה..2 באינדוקציה. מספיק להראות עבור :A B עבור קבוצות סופיות,B N m,a N n מתקיים.A B N n N m N n+m.p (A) P (N n ) N 2 n אז A N n.3 3.3 קבוצות אינסופיות הגדרה. קבוצה A היא אינסופית אם היא לא סופית; כלומר, לכל A. N n n, N 13 קבוצה אינסופית דוגמה. N היא אינסופית: היא שקולה לתת-קבוצה חלקית-ממש שלה למשל, הטבעיים הזוגיים (בסתירה לטענה קודמת). = N 0 סופית. 12 13 אם A סופית, A N n עבור n יחיד, ונוכל לסמן A = N n = n מספר האיברים ב- A. 21

3 עוצמות 3.3 קבוצות אינסופיות טענה :22 אם X אינסופית אז N. X כלומר, קיימת f : N X חח"ע. הוכחה. נבנה באינדוקציה סדרה 1=n a} n } של איברים שונים ב- X. עבור = 1 :n,x אז קיים.a 1 X אם n 1 a 1,..., a הוגדרו ושונים אחד מהשני, } n 1 X {a 1,..., a (כי אחרת X סופית). לכן קיים } n 1.a n X \ {a 1,..., a במילים אחרות, N היא הקבוצה האינסופית הקטנה ביותר, עד-כדי שקילות. מסקנה 23: X סופית X לא שקולה לתת-קבוצה-ממש של עצמה. הוכחה. (= ) זו מסקנה 16. f : N X חח"ע. נסמן f(n),a = ונגדיר ( =) נניח בשלילה ש- X אינסופית. תהי x x / A =.g(x) g חח"ע, אבל g לא על, כי (1)f לא g : X X על-ידי f(n + 1) x = f(n) מתקבל. אז {(1)f} X, X \ בסתירה לכך ש- X אינה שקולה לתת-קבוצה חלקית-ממש שלה. לסיכום: 25.4.2007 1. כל תת-קבוצה של קבוצה סופית היא סופית. 2. (שקול ל- 1 ) כל קבוצה שמכילה קבוצה אינסופית היא אינסופית..3 N אינסופית. 4. בכל קבוצה אינסופית קיימת סדרה אינסופית של איברים שונים 1=n x}. n } הגדרה. קבוצה X תיקרא בת-מניה אם N X. = מסתכלים על שקילות קבוצות כעל יחס שקילות על "קבוצת כל הקבוצות"; מקלחות השקילות נקראות עוצמות (קרדינלים). מסמנים N. = ℵ 0 אז קבוצה היא בת-מניה עוצמתה ℵ. 0 טענה.1 :24 אם X בת-מניה, Y X אינסופית, אז Y בת-מניה. קבוצה בת-מניה עוצמה 2. אם X אינסופית וכל Y X אינסופית שקולה ל- X, אז X בת-מניה. הוכחה. למעשה, טענות אלה ממחישות את זה שהקבוצות בנות-המניה הן הקבוצות האינסופיות הקטנות ביותר.. Y X = ℵ 0.1 מצד שני, Y אינסופית אז. Y ℵ 0 לכן, ממשפט קנטור-ברנשטיין, Y = ℵ 0 כלומר, Y בת-מניה. 2. מכיוון ש- X אינסופית, קיימת סדרה x} n } 1=n X של איברים שונים. כלומר, יש Y X בת-מניה. לפי ההנחה, Y, X = ולכן X בת-מניה. 22

3.3 קבוצות אינסופיות 3 עוצמות טענה 25: אם A ו- B בנות-מניה, אז גם A B בת-מניה. הוכחה. A B אינסופית, ולכן. A B ℵ 0 מצד שני, נראה ש- A B ℵ 0 כלומר, שקיימת f : N A B על: נניח ש- A f 2 : N B,f 1 : N התאמות. נגדיר f 1 (n) n = 2m =.f(n) f מוגדרת היטב והיא על. לכן, ממשפט קנטור-ברנשטיין, f 2 (n) n = 2m + 1. A B = ℵ 0 גם בת-מניה. טענה :26 אם n=1 {A n } סדרה של קבוצות בנות-מניה, אז n=1 A n הוכחה. תהיינה f n : N A n התאמות. הראינו בתרגיל שקיימת התאמה ;g : N N N כלומר, יש (n)),g(n) = (g 1 (n), g 2 כאשר g 1, g 2 : N N ולכל זוג (n 1, n 2 ) N N קיים n N כך ש-( n ).n 2 = g 2 (n),n 1 = g 1 אז נגדיר (n)).f(n) = f g1(n)(g 2 קיבלנו פונקציה.f : N n=1 A n,x קיים n 1 N כך ש-.x A n1 מכיוון ש- f n1 על, קיים n=1 A n על: אם f n 2 N כך ש-(.x = f n1 (n 2 מתכונות,g קיים n N כך ש- g 1 (n) = n 1 ו-,g 2 (n) = n 2 ואז.f(n) = f g1(n)(g 2 (n)) = f n1 (n 2 ) = x בת-מניה או סופית. טענה :27 אם A n סופיות, n=1 A n הוכחה. נניח 1 n A n = k (אפשר להתעלם מקבוצות ריקות). נניח ש- g n : N kn A n.m n = k 1 +... + k n = n כל x N ניתן להציג באופן יחיד על-ידי התאמה. נסמן i=1 k i { 14.0 k < k n+1 ו- n N כך ש-{ 0 } x = m n + k נגדיר n+1.g(x) = g n+1 (k + 1) x = m n + k, 0 k < k הפונקציה g היא על, כי 15.(1 k m n ) g n (k) = g(m n 1 + k 1) לסיכום, אם A היא קבוצה סופית או בת-מניה של קבוצות סופיות או בנות-מניה, A סופי או בן-מניה:, A ℵ 0 אז יש f : N A על. f(n) A = n N ; ומהטענה הקודמת, סופית או בת-מניה. n=1 f(n) טענה 28: אם A קבוצה של מרווחים (קטעים פתוחים) ב- R שהם זרים בזוגות, A סופית או בת-מניה. X x X A =.f(x) f היא על, כי בכל הוכחה. נגדיר } 0 f : Q A {x על-ידי / x x 0 A רווח A קיים מספר רציונאלי (מצפיפות Q ב- R ). A A {x 0 } Q = ℵ 0 = מסקנה 29: אם f : R R פונקציה מונוטונית, קבוצת נקודות אי הרציפות שלה X היא סופית או בת-מניה. 14 נבחר את ה- n המקסימלי עבורו,m n x ואז n+1 x m n < k אחרת,m n+1 x בסתירה למקסימליות.n 15 למעשה, g עוברת על הסדרות הסופיות לפי הסדר. 23

3 עוצמות 3.3 קבוצות אינסופיות הוכחה.,X = X 1 X 2 כאשר מגדירים f(x)} X 1 = {x X : lim y x + f(y) > ו-{( f(x.x 2 = {x X : lim y x f(y) < נסתכל על } 1.A = {(f(x 0), f(x)) : x X 2 } {(f(x), f(x + 0)) : x X 16 זוהי קבוצה של מרווחים זרים בזוגות: אם, בלי הגבלת הכלליות, x 1 < x 2 ו-( 0 +,f(x 1 ) < y < f(x 1 0),f(x 2 ) < y < f(x 2 + ממונוטוניות f נקבל ;y < f(x 1 + 0) f(x 2 ) < y ובאופן דומה, לא ייתכן ) 1 f(x 1 0) < y < f(x ו-( f(x 2 0) < y < f(x 2 או ) 1 f(x 1 0) < y < f(x ו-( 0.f(x 2 ) < y < f(x 2 + אז מהמסקנה, A בת-מניה; לכן גם X בת-מניה. דרך אחרת: נסמן R}.A = {(f(x 0), f(x + 0)) : x זהו אוסף מרווחים זרים בזוגות, כי אם 0) f(x 1 0) < y < f(x 1 + ו-( 0 f(x 2 0) < y < f(x 2 + עבור,x 1 < x 2 אז ממונוטוניות y < f(x 1 + 0) f(x 2 0) < y סתירה. לכן A סופית או בת-מניה, ולכן קבוצת נקודות אי-הרציפות של,{x R : f(x 0) < f(x + 0)},f היא קבוצה סופית או בת-מניה. עם זאת, יש פונקציות מונוטוניות שקבוצות נקודות אי-הגזירות שלהן אינה בת-מניה. אם B,A בנות-מניה, גם A B בת-מניה. אם g : N B,f : N A התאמות, נגדיר f g : N N A B על-ידי g(n)).(f g)(m, n) = (f(m), זוהי התאמה. לכן. A B = N N = ℵ 0 כעת ניתן להמשיך באינדוקציה: אם A 1,..., A n בנות-מניה, אז A 1... A n בת-מניה. = N 1} {0, קבוצת הסדרות n=1 עם זאת, מכפלה בת-מניה אינה בהכרח בת-מניה: {1,0} של ספרות בינאריות שקולה ל-( N ) P; לפי משפט קנטור, P, (N) > ℵ 0 ולכן קבוצה זו אינה בת-מניה. טענה 30: קבוצת תתי-הקבוצות הסופיות של קבוצה בת-מניה היא בת-מניה. = (X),P f כאשר הוכחה. נגדיר } 0.P f (X) = {A X : A < ℵ כלומר, n(x) n=1 P X n בת-מניה. נגדיר התאמה מ- P n מספיק להוכיח ש-.P n (X) = {A X : A = n} ל-( X ) 1 k n P n(x) = P n כך ש-{ X n.(x 1,..., x n ) {x 1,..., x n היא מכפלה סופית של קבוצות בנות-מניה, לכן בת-מניה; לכן (X) P n בת-מניה. הגדרה. מספר X נקרא מספר אלגברי אם קיימים מספרים רציונאלים a 1,..., a n Q כך ש- 0 = n.x n + a 1 x n 1 +... + a מספר אלגברי דוגמה. 2 הוא מספר אלגברי זהו פתרון של = 0 2 x. 2 לכן לא כל מספר אלגברי הוא רציונאלי. טענה 31: קבוצת המספרים האלגבריים היא בת-מניה. 16 הכוונה היא ל-( f(y,f(x 0) = lim y x ובאופן דומה עבור 0) +.f(x 24

3.3 קבוצות אינסופיות 3 עוצמות הוכחה. לכל,a 1,..., a n Q קבוצת הפתרונות של הפולינום = 0 n x n + a 1 x n 1 +... + a כך ש- Q a 1,..., a n סופית. לכן קבוצת המספרים האלגבריים A = {x R : x n + a 1 x n 1 +... + a n = 0} n=1 a 1,...,a n Q היא איחוד בן-מניה של איחוד בן-מניה של קבוצות סופיות, שהוא בן-מניה. 2.5.2007.F ((ε n ) n=1) = ε n הפונקציה F היא חח"ע: n=1 טענה 32: N C, 2 כאשר C 2 היא קבוצת הסדרות העולות ב- N. f N N g(n) = n i=1 הוכחה. f(i) g(1) n = 1 g C 2 f(n) = g(n) g(n 1) n > 1 טענה 33: R אינה בת-מניה. 3 הוכחה. נוכיח ש- R {2 N,0}. נגדיר n δ n 3 = ε n n n=1 3 אם 2} {0, 1, n,ε n n, δ אם ורק אם ε n = δ n לכל,n או שקיים m כך n=1 שעבור,ε n = δ n n < m ו- 0 = n.δ m = ε m + 1, n > m ε n = 2, δ במקרה זה, = 1 m δ או = 1 m ε לכן השמטנו את הערך 17.1 בפרט,. R {0, 2} N > ℵ 0 לכן R אינה בת-מניה. התמונה של F כפי שהגודרה בהוכחה הקודמת היא קבוצת המספרים הממשיים ב-[ 1,0] שעבורם קיים פיתוח (לפי בסיס 3) ללא הספרה 1 זוהי קבוצת קנטור: היא מתקבלת אם מכל קטע מורידים את השליש האמצעי. נסמן ב- C n את הקבוצה שנשארת לאחר n איטרציות. C n היא איחוד זר של 2 n קטעים קבוצת קנטור פונקציית קנטור 1+n. 1 C מתקבלת על-ידי ניתוק השליש האמצעי מכל קטע ב- C, n ומתקבלת סגורים באורך 3 n = C קבוצת קנטור. המידה של C n היא )n 3,( 2 והמידה של C היא אפס (כי n=1 C n.(( 2 3 )n ) 0 ניתן לבנות פונקציה רציפה ומונוטונית g :,0] [1 R כך שקבוצת הנקודות בה g אינה גזירה היא קבוצת קנטור. פונקציה זו נקראת פונקציית קנטור. עוצמת הרצף נסמן R = ℵ עוצמת הרצף. טענה 34: קבוצת הסדרות של מספרים ממשיים, R, N היא מעוצמת הרצף. הוכחה. הראינו ש- R 1} N.{0, לכן מספיק להראות ש- 1} N ) N R N.({0, הראינו ש- 1} N ) N {0, 1} N N,({0, אבל N N N ולכן 1} N {0, 1} N N,{0, ו-.R {0, 1} N לכן.R N R טענה 35: קבוצת הפונקציות הממשיות הרציפות C היא מעוצמת הרצף. 17 בעצם מדובר על ייצוג, בבסיס,3 כ- 1222. ו- 2000.. 25

3 עוצמות 3.4 השערת הרצף הוכחה. נגדיר R : C R Q על-ידי R.R(f) = f Q חח"ע, כי אם ) 2,R(f 1 ) = R(f כלומר,f 1 Q = f 2 Q אז = 0 Q.(f 1 f 2 ) זוהי פונקציה רציפה שהצמצום שלה לקבוצה צפופה הוא,0 ולכן 0 1 f 2 f כלומר,.f 1 = f 2 אז. C < R Q = R N = ℵ הכיוון השני ברור. משפט :36 נניח ש- n=1 {y n } n=1,{x n } סדרות ב- R.[a, b] ל-{ {x n ול-{ {y n יש אותן נקודות הצטברות אם"ם קיימת פרמוטציה π : N N כך ש- 0 π(n).x n y הוכחה. (= ) תהי x נקודת הצטברות של } n {x כלומר, לכל > 0 ε קיים n כך ש- ε. x n x < יהי > 0 ε ויהי N כך ש- 2 x n y π(n) < ε לכל.n > N קיים n > N כך ש-. x n x < ε 2 אז, y π(n) x < ε ו- x נקודת הצטברות של } π(n).{y באופן סימטרי, כל נקודת הצטברות של } n y} היא נקודת הצטברות של } n x}. ( =) נראה שקיימת σ : N N מונוטונית עולה כך ש- 0 σ(n).x n y זה מספיק כי מסימטריה נוכל למצוא τ : N N מונוטונית עולה כך ש- 0 τ(n),y n x ואז π : N N משפט ההשוואה). נגדיר (לפי τ(n \ σ(m)) = N קיימת M N כך ש- M \ σ(n) n M =,π(n) ונקבל π חח"ע ועל. נשים לב ש- 0 π(n),x n y כי על-ידי τ 1 (n) n / M 0 σ(n) x n y לכל n (ובפרט עבור (n M ו- 0 (n) x n y τ 1 עבור.n M כלומר, שתי תתי הסדרות שואפות לאפס, לכן הסדרה כולה שואפת לאפס. לכן π כנדרש. נותר להראות שקיימת σ כנ"ל. נגדיר כזו באינדוקציה. נגדיר = 1.σ(1) אם <... < σ(1) σ(k) הוגדרו, נגדיר (1 + σ(k כך שיתקיים x k+1 y σ(k+1) < inf i>σ(k) x k+1 y i + 1 k נראה ש- 0 σ(n) :x n y נניח בשלילה שקיים > 0 ε כך שקיימת סדרה... < 2 k 1 < k j > σ(k i ) לכל,k i > 2 ε עבור. x k i כך ש- ε y σ(ki) ε x ki y σ(ki) < x ki y j + 1 k j < x ki y j + ε 2 ולכן. x ki y j ε 2 נניח, בלי הגבלת הכלליות, x. ki x 18 נראה שלא קיימת תת-סדררה של y שמתכנסת ל- x, בסתירה להנחה. קיים n גדול כרצוננו כך ש- 4. x kn x < ε אז עבור כל ) n j σ(k מתקיים.{y n } לא נקודת-גבול של x לכן. x y i x kn y j x kn x > ε 4 18 קיימת תת-סדרה מתכנסת של } ki x} ש- x הוא הגבול שלה; נעבור אליה במקרה הצורך. 26

3.4 השערת הרצף 3 עוצמות 3.4 השערת הרצף האם קיימת עוצמה בין ℵ 0 ל- ℵ? על-פי השערת הרצף, לא. כלומר, כל קבוצה אינסופית שאינה בת-מניה מכילה עותק חח"ע של ℵ 0 N היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. בניסוח כללי יותר (השערת הרצף הכללית): אם Y קבוצה כך ש- X Y, > מתקיים (X) Y. P 19 בפרט, כל קבוצה אינסופית שאינה בת-מניה היא מעוצמת הרצף לפחות. גדל,(Gödel) בשנות ה- 20 30, הוכיח שאם תורת הקבוצות קונסיסטנטית, קיים מודל לתורת הקבוצות בו השערת הרצף הכללית נכונה. לעומת זאת, כהן,(Cohen) בשנות ה- 60, הוכיח שאם תורת הקבוצות קונסיסטנטית, אז קיים מודל שבו השערת הרצף אינה מתקיימת כלומר, קיימת עוצמה ℵ 1 כך ש-.ℵ 0 < ℵ 1 < 2 ℵ0 השערת הרצף 3.5 חשבון עוצמות 3.5.1 חיבור עוצמות חיבור עוצמות אם λ,κ עוצמות,, Y = λ, X = κ היינו רוצים שיתקיים Y,λ + κ = X כאשר Y,X 9.5.2007 זרות. זה מוגדר היטב, כי תמיד קיימות Y X, זרות כנ"ל (כי {0} X ו-{ 1 } Y זרות ובעלות אותה עוצמה כמו X ו-,(Y ואם X Y = Y, X = כאשר Y,X זרות ו-,X Y זרות, אז אם X g : Y Y,f : X התאמות, נגדיר Y h : X Y X : X Y = X Y f(z) z X.h(z) = על-ידי g(z) z Y עבור עוצמות סופיות, החיבור הוא הפעולה הרגילה של החיבור. אולם לגבי קבוצות אינסופיות אין זה כך: ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 (כלומר, איחוד קבוצות בנות-מניה הוא בן-מניה), וכן.ℵ + ℵ 0 = ℵ כלומר, עבור עוצמות אינסופיות, :λ + λ = λ לכן, עבור λ אינסופית, κ).λ + κ = max(λ, תכונות החיבור: κ + λ = λ + κ.1 (λ + κ) + γ = λ + (κ + γ).2 λ 1 + κ 1 λ 2 + κ 2 = κ 1 κ 2,λ 1 λ 2.3 (0 = ) λ + 0 = λ.4 ההוכחה נובעת מיידית מתכונות האיחוד. באופן כללי, אפשר להגדיר את הסכום i I κ i עבור משפחה κ} i } i I של עוצמות באופן הבא: {i}) i I κ i = i I (κ i. למשל, n N ℵ 0 = ℵ 0 (על-פי טענה.(26 19 נזכיר כי משפט קנטור מוכיח ש- X. 2 X = P (X) > 27

3 עוצמות 3.5 חשבון עוצמות לגבי חיסור, לא ברור, למשל, מהו ;ℵ 0 \ ℵ 0 מתקיים = N,N \ אך {1} = {1}) \ (N N \ ו- 2N N \ זו קבוצת הטבעיים אי-זוגיים. לכן פעולת החיסור לא מוגדרת היטב. לעומת זאת, אם. X \ Y = X אז, X ℵ 0 ו- X > Y 3.5.2 כפל עוצמות כפל עוצמות אם, Y = κ, X = λ נגדיר Y.λ κ = X זה מוגדר היטב, כי אם X : X Y = X Y, Y = Y, X = אם X g : Y Y,f : X התאמות, הפונקציה Y f g : X Y X המוגדרת על-ידי g(x)) (f g)(x, y) = (f(x), היא התאמה. עבור עוצמות סופיות, זה משקף את פעולת הכפל הרגילה. אך.ℵ ℵ = ℵ,ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 כלומר, באופן כללי, עבור λ אינסופית, κ).λ κ = max(λ, עוצמה של משפחה מוגדרת על-ידי i i I x i = x. למשל, אם x i = λ לכל i I ו- κ κ λ = λκ, I =. תכונות דומות לתכונות החיבור מתקיימות עבור הכפל: λ κ = κ λ.1 (λ κ) γ = λ (κ γ).2 ( { } = 1) λ 1 = λ.3 λ 1 κ 1 λ 2 κ 2 = κ 1 κ 2,λ 1 λ 2.4 λ (κ 1 + κ 2 ) = λ κ 1 + λ κ 2.5 λ i I κ i = i I λ κ i.6 λ κ1+κ2 = λ κ1 λ κ2.7 (( i I λ i) κ = λ κ i ) λκ1 κ2 = (λ κ1 ) κ2.8 (λ 1 + λ 2 ) κ = λ κ 1 + λ κ 2.9 X Y = X Y.10 ההוכחה נובעת מיידית מתכונות המכפלה הקרטזית. דוגמה. קב הסדרות הממשיות: R N = ℵ ℵ0 = (2 ℵ0 ) ℵ0 = 2 ℵ0 ℵ0 = 2 ℵ0 = ℵ ℵ ℵ0 0 = 2 ℵ0 = 2 ℵ0 N N = ℵ ℵ0 קב הסדרות הטבעיות: (2 ℵ0 ) ℵ0 0 קב הפונקציות הממשיות: R R = ℵ ℵ = (2 ℵ0 ) ℵ = 2 ℵ0 ℵ = 2 ℵ (קב הפונקציות הממשיות הרציפות:,ℵ < 2 ℵ על-פי טענה (35 28

4 אקסיומת הבחירה 4 אקסיומת הבחירה קיימים מספר ניסוחים שקולים לאקסיומת הבחירה: אקסיומת הבחירה.1 לכל קבוצה X קיימת פונקציה f : P (X) \ { } X כך שלכל = A X מתקיים F. (A) A (פונקציה כזו נקראת פונקציית בחירה של X.).2 לכל קבוצה {A α } α I של קבוצות לא-ריקות קיימת f : I A α כך ש- f(α) A α לכל.α I.3 α α I A עבור משפחה {A α } α I של קבוצות לא-ריקות. 4. לכל יחס R בין X ל- Y יש תת-יחס עם אותו תחום שהוא פונקציה. 5. לכל משפחה A} α } α I של קבוצות זרות-הדדית ולא-ריקות קיימת קבוצה B כך שלכל α I מתקיים = 1 α. B A (כלומר, לכל יחס שקילות יש קבוצת נציגים.).6 לכל f : X Y חח"ע קיימת g : Y X כך ש-.g f = id X.7 לכל f : X Y על קיימת g : Y X כך ש-.f g = id Y הוכחה. בקצרה: 1) (2 ניקח F,X = α I A α פונקציית בחירה של,{A α } α I P (X) \ { }.X לכן.f(A α ) = F (A α ) A α מקיימת f = F {Aα} α I : {A α } α I X 2) (3 לפי הגדרה. 3) (4 נגדיר xry}.a x = {y Y : נסמן ב- D את התחום: } x.d = {x X : A נסתכל על x D A x.{a x } x D ; כלומר, קיימת f : D x D A x Y כך ש- ;f(x) A x כלומר,.xRf(x) לכן.f R 4) (5 יהי R היחס בין I ל- α α I A המוגדר על-ידי αrx אם.x A x כלומר, היחס הוא.α I לכל A α כי,D(R) = I התחום הוא.R = {(α, x) : α I, x A α } תהי.f R כלומר, f(α) A α לכל.α I נסמן f(i).b = אז {f(α)} :B A α = ברור; מצד שני, אם f(β) B A α עבור,α β אז = α.f(β) A β A { }\(X) A}. {{A} A P זוהי קבוצה של קבוצות זרות ולא-ריקות. 5) (1 בהינתן,X נסתכל על תהי B קבוצת נציגים; כלומר, = 1 {A}). B (A נגדיר F : P (X) \ { } X על-ידי {A}).{(F (A), A)} = B (A כלומר, B}.F = {(A, x) : (x, A). B (A {A}) = היא אכן פונקציה, מכיוון ש- 1 F (P (X) \ { }) X 29

5 הלמה של צורן 5 הלמה של צורן 5.1 יחסי סדר 5.1.1 סדר חלקי יחס-סדר חלקי הגדרה. R נקרא יחס-סדר חלקי אם R הוא יחס על X כך ש-.1 (רפלקסיביות) xrx לכל ;x X.2 (אנטי-סימטריות) xry ו- yrx ;x = y =.3 (טרנזיטיביות) xry yrz = xrz לכל.x, y, z X דוגמה. על.R,Z,N.m = l כך ש- n l N קיים :N על n m.p (X) על A B יחס ההרחבה של פונקציות מתתי-קבוצות של A לקבוצה Z הוא יחס-סדר חלקי (על הקבוצה Z} X = {(f, B) : B A, f : B נגדיר ש-( (f 2, B 2 מרחיבה את.(f 2 B1 = f 1 ו- B 1 אם B 2 (f 1, B 1 ) קבוצה סדורה-חלקית הגדרה. קבוצה עם יחס-סדר חלקי ( ) נקראת קבוצה סדורה-חלקית. 5.1.2 סדר טוב הגדרה. איברים,x y בקבוצה סדורה-חלקית (,X) נקראים ניתנים להשוואה אם x y או 30.5.2007.y x קבוצה סדורה-לינארית הגדרה. קבוצה סדורה-חלקית נקראת קבוצה סדורה-לינארית אם כל שני איברים בה ניתנים להשוואה. (במקרה זה, יחס הסדר נקרא יחס-סדר לינארי.) דוגמה. מהדוגמה הקודמת, היחס על R Z, N, הוא יחס-סדר לינארי; השאר לא. יחס-סדר מושרה הגדרה. אם (,X) קבוצה סדורה-חלקית ו- X Y, יחס-הסדר המושרה של Y הוא היחס המוגדר על-ידי y 1 y 2 ב- y 1 y 2 Y ב- X. 20 שרשרת הגדרה. שרשרת בקבוצה סדורה-חלקית (,X) היא תת-קבוצה Y X כך שהיחס המושרה על Y הוא יחס-סדר לינארי. 20 תכונות יחס-הסדר החלקי נשמרות, לכן זהו יחס-סדר חלקי של Y. 30

5 הלמה של צורן 5.1 יחסי סדר דוגמה. אם X קבוצה סדורה-לינארית, כל תת-קבוצה של X היא שרשרת. הקבוצה.}.. 25, {1, 5, = n=0 {5 n } היא שרשרת עם יחס-הסדר.n m איבר ראשון איבר אחרון איבר מינימלי הגדרה. איבר ראשון בקבוצה סדורה-חלקית (,X) הוא איבר x 0 X כך שלכל x, X.x 0 x איבר ראשון יחיד, אם קיים : 21 אם x 0 ו- 0 x איברים ראשונים, x 0 x 0 ו- ;x 0 x 0 אז מאנטי-סימטריות,.x 0 = x 0 איבר אחרון מוגדר באופן דומה. הגדרה. איבר מינימלי בקבוצה סדורה-חלקית (,X) הוא איבר x 0 X כך שלכל x, X אם.x = אז x 0 x x 0 ברור שאיבר ראשון הוא איבר מינימלי; בקבוצה סדורה-לינארית, איבר מינימלי הוא איבר ראשון, ולכן יחיד, אם קיים. דוגמה. בקבוצה N עם יחס-הסדר n, m 1 הוא איבר ראשון. ב-{ N\{1 X = עם יחס-הסדר המושרה אין איבר ראשון, אבל כל המספרים הראשוניים הם איברים מינימליים. איבר מקסימלי מוגדר באופן דומה. איבר מקסימלי הגדרה. חסם מלעיל של תת-קבוצה Y X בקבוצה סדורה-חלקית (,X) הוא איבר x 0 X חסם מלעיל (ממש) כך שלכל.y x 0,y Y אם y < x 0 לכל x 0,y Y הוא חסם מלעיל ממש. לא בהכרח קיים חסם מלעיל. חסם מלרע (ממש) מוגדר באופן דומה. הגדרה. חסם עליון של Y הוא איבר x 0 X שמהווה חסם מלעיל כך שלכל חסם מלעיל x של Y מתקיים.x 0 X חסם עליון יחיד, אם קיים. חסם תחתון מוגדר באופן דומה. הגדרה. עוקב מיידי של איבר x 0 בבקבוצה סדורה-חלקית (,X) הוא איבר x 1 X כך ש- x 0 < x 1 ולכל x 0 < y מתקיים.x 1 y חסם מלרע (ממש) חסם עליון חסם תחתון עוקב מיידי יחד, אם קיים. הגדרה. קבוצה סדורה-היטב היא קבוצה סדורה-חלקית כך שלכל תת-קבוצה לא-ריקה יש איבר ראשון, ביחס הסדר המושרה. קבוצה סדורה-היטב 21 לא חייב להיות קיים איבר כזה, אפילו בקבוצה סדורה-לינארית למשל, ב- Z. 31

5.1 יחסי סדר 5 הלמה של צורן דוגמה. N עם יחס-הסדר הרגיל. גם { } N n < ) N = לכל (n N סדורה היטב: אם N A, אז או N A והאיבר הראשון של A N הוא האיבר הראשון של A. ו- הוא האיבר הראשון של A = { } או A, האם קיימת קבוצה סדורה-היטב שאינה בת-מניה? כן, בהינתן אקסיומת הבחירה. דוגמה. ב-( (X),,(P הוא איבר ראשון. אך אם > 1, X ב-( { }, \ (X) (P אין איבר ראשון, ולכל {x} x, X איבר מינימלי. קבוצה סדורה-היטב היא קבוצה סדורה-לינארית: אם (,X) קבוצה סדורה-היטב, לכל,x, y X ל-{ y {x, יש איבר ראשון, לכן או x y או.y x ההיפך אינו נכון למשל, [1,0] = X קבוצה סדורה-לינארית; לכל תת-קבוצה יש חסם תחתון, אך הוא אינו בהכרח שייך > 1 2 x A = {x : אין איבר ראשון. אליה. לדוגמה, ל- X } רישא הגדרה. הרישא של x X בקבוצה סדורה-חלקית ) (X, היא x}.s(x) = {y X : y < מהווה חסם עליון ל-( S(x.) (x הגדרה. אם ) X (Y, Y ),(X, קבוצות סדורות-חלקית, פונקציה f : X Y נקראת שומרת f : X Y יש (Y, Y ),(X, X ) אם בין.f(x 1 ) Y סדר אם f(x 2 ) = x 1 X x 2 פונקציה שומרת-סדר קבוצות איזומורפיות שומרת-סדר חח"ע ועל וגם f 1 : Y X שומרת סדר, הן נקראות איזומורפיות. בין קבוצות סדורה-לינארית, מספיק לדרוש ש- f : X Y שומרת-סדר חח"ע ועל: אם y 1 y 2 ב-,Y אז x 1 = f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) = x 2 ב- X : אחרת, x 2 x 1 (מכך ש- X סדורה לינארית, איברים אלה ניתנים להשוואה), ולכן = y 1 = y 2 = y 2 = f(x 2 ) f(x 1 ) = y 1.x 1 = x 2 טענה :37 אם ) (X, קבוצה סדורה-היטב ו- X f : X שומרת-סדר חח"ע, אז f(x) x לכל.x X הוכחה. נניח בשלילה שלא. נגדיר x} X 0 = {x X 0 : f(x) <. יהי x 0 האיבר הראשון של.X 0 לכל,f(x 0 ) < x 0.f(y) y,y < x 0 לכן בפרט ) 0.f(f(x 0 )) f(x אך f שומרת סדר, לכן f(f(x 0 )) < f(x 0 ) = f(x 0 ) < x 0 סתירה. מסקנה 38: אם (,X),,Y) ( קבוצות סדורות-היטב איזומורפיות, האיזומורפיזם ביניהן יחיד. 1 f שומרת-סדר חח"ע ועל. הוכחה. אם f 1, f 2 : X Y איזומורפיזמים, f 1 : X X 2 1 f לכל,x X ולכן (x) f 1 (x) f 2 לכל.x X באופן סימטרי, מהטענה, f 1 (x) x 2.f 1 אז f 2.x X לכל f 2 (x) f 1 (x) מסקנה :39 אם ) (X, קבוצה סדורה-היטב ו- X,x 0 אז ) 0 S(x אינה איזומורפית ל- X. 22 22 אבל קבוצה סדורה-היטב יכולה להיות איזומורפית לתת-קבוצה חלקית-ממש שלה: למשל, N איזומורפית ל- 2N. 32

5 הלמה של צורן 5.1 יחסי סדר הוכחה. אחרת קיימת ) 0 f : X S(x חח"ע (ועל) שומרת-סדר. מהטענה, ;f(x 0 ) x 0 לכן ) 0,f(x 0 ) / S(x בסתירה. מסקנה 40: שתי רישות שונות בקבוצה סדורה-היטב (,X) אינן איזומורפיות. הוכחה. עבור שתי רישות ) 1,S(x 2 ),S(x נניח בלי הגבלת הכלליות.x 1 < x 2 אז ) 1 S(x היא רישא ב-( S(x 2 ) ;S(x 2 קבוצה סדורה-היטב, 23 לכן לפי המסקנה הקודמת ) 1.S(x 2 ) S(x 6.6.2007 משפט :41 כל שתי קבוצות סדורות-היטב ) X (Y, Y ),(X, ניתנות להשוואה. כלומר, בדיוק אחת משלוש האפשרויות הבאות מתקיימת: (א) ;X Y (ב) קיים x 0 X כך ש-( ;Y S X (x 0 (ג) קיים y 0 Y כך ש-(.X S Y (y 0 הוכחה. ממסקנה 39, לא ייתכן שאפשרות א מתקיימת יחד עם אפשרות ב או ג. נניח שאפשרויות ב וג מתקיימות. אם ) 0 f : Y S X x) איזומורפיזם, אז הצמצום )) 0 f SY (y 0): S Y (y 0 ) S X (f(x איזומורפיזם (כתרגיל). על-ידי הרכבה, נקבל איזומורפיזם בין X לרישא שלו בסתירה למסקנה 39. נותר להראות שאחת האפשרויות מתקיימת. נסתכל על (y)}.x 0 = {x X : y Y : S X (x) S Y נגדיר פונקציה f : X 0 Y על-ידי f(x) = y אם (y).s X (x) S Y מכיוון ששתי רישות שונות אינן איזומורפיות, זוהי פונקציה. נראה ש-( f(x 0 רישא של,Y או f(x 0 ) = Y ו- X 0 רישא של X או.X 0 = X למה 1.41: תת-קבוצה A X של קבוצה סדורה-היטב היא רישא לכל x A ולכל.y A מתקיים y < כך ש- x y X הוכחה. ) ( ברור. ) ( נגדיר A),x 0 = min(x \ ואז ) 0.A = S X (x אם ;y A,y < x 0 אחרת,,y X \ A בסתירה למינימליות.x 0 מצד שני, אם y A ו-,y x 0 מההנחה נקבל.y S X (x 0 ) כלומר,y < לכן x 0 בסתירה להגדרת.x 0,x 0 A נראה שאם x 1 X 0 ו- x < x 1 אז.x X 0 אם (y) g : S X (x 1 ) S Y איזומורפיזם, אז (g(x)) g SX (y): S X (x) S Y איזומורפיזם, ולכן.x X 0 מהלמה, X 0 = X או,y = f(x) (אם y 1 f(x 0 ) אז y 1 < ו- y y f(x 0 ) באותו אופן, אם ;X 0 = S X (x) g gx (g 1 (y 1)): S X g 1 (y 1 )) S Y (y 1 ) איזומורפיזם, g : S X (x) S Y (y) אז x X 0 איזומורפיזם, ולכן.(f(X 0 ) f(g 1 (y 1 )) = y 1 לכן או ש- f(x 0 ) = Y או שקיים y 0 Y כך ש-(.f(X 0 ) = S Y (y 0 נראה ש-( f : X 0 f(x 0 איזומורפיזם. יודעים ש- f שומרת-סדר ועל. אם X 0 = X אז X איזומורפית לרישא של Y או ל- Y, כי היא איזומורפית ל-(.f(X 0 אם.X או רישא של X שהיא או,X 0 איזומורפית ל- Y,f(X 0 ) = Y.y 0 Y,x 0 X עבור Y 0 = f(x האפשרות הנוספת היא ) 0 = S Y (y 0 ),X 0 = S X (x ) 0 f(x) x x 0 =.g(x) אז g איזומורפיזם. או g : X על-ידי נגדיר } 0 {x 0 } Y 0 {y 0 x = x 0 y 0 23 כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה-היטב היא קבוצה סדורה-היטב ביחס המושרה. 33

5.2 הלמה של צורן 5 הלמה של צורן ש-{ Y = Y 0 {y 0 או ש-{ Y 0 {y 0 רישא ב-,Y או ש-{ X = X 0 {x 0 או ש-{ X 0 {x 0 רישא ב- X. אם } 0 S Y (y 1 ) = Y 0 {y ו-{,S X (x 1 ) = X 0 {x 0 אז ) 1 S X (x 1 ) S Y (y ולכן = x 1 X 0 סתירה לכך ש-.x 1 > x 0 / X 0 לכן או ש- X X 0 {x 0 } = והיא איזומורפית ל-{,Y 0 {y 0 או ש- Y 0 {y 0 } = Y והיא איזומורפית ל-{.X 0 {x 0 5.2 הלמה של צורן הלמה של צורן הלמה של צורן. תהי (,X) קבוצה סדורה-חלקית שאינה ריקה. אם לכל שרשרת קיים חסם מלעיל ב- X, אז ל- X קיים איבר מקסימלי. משפט 42: הלמה של צורן שקולה לאקסיומת הבחירה. הוכחה. ( ) תהי X קבוצה לא-ריקה. נסתכל על F, קבוצת הזוגות (f,a) כך ש- X A ו- f היא פונקציית בחירה של A כלומר, f : P (A) \ { } A כך ש- B f(b) לכל,A 1 אם A 2 (A 1, f 1 ) (A 2, f 2 ) סדר חלקי על-ידי F נגדיר על.B P (X) \ { },F קל לראות שזה סדר חלקי..B A 1 כך ש- B לכל A 2 F 2 (B) = F 1 (B A 1 ) מכיוון ש-.(f 0 : ) (, f 0 ) F 24 נראה שלכל שרשרת יש חסם מלעיל. נניח ש-{ I A)} α, f α ) : α היא שרשרת; נגדיר f(a) = f α (A A α ) A A α A על-ידי f : P (B) \ { } B,B = α I A α B) (A A α, A זה מוגדר היטב כי קיים α כך ש- α,a A ואם A A β A, A α בה"כ מתקיים ) β (A α, f α ) (A β, f (אלו איברי שרשרת) ואז.(B, f) F לכן.( A α A A β A) f α (A α A) = f β (A β A) נבדוק ש-( f.(a α, f α ) (B, ראשית,.A α B אם C A α,c B אז לפי הגדרה, ) α.f(c) = f α (C A (למעשה, f) (B, הוא חסם עליון של השרשרת.) כעת, מהלמה של אחרת, קיים ;x 0 X \ A 0 נגדיר צורן, קיים איבר מקסימלי ) 0 (A 0, f ב-.F נראה ש- X :A 0 = f 0 (B A 0 ) B {x 0 }. B A לכל f(b) =,A = A 0 על-ידי x 0 (A, f) F x 0 B = {x 0 } ברור ש-( f,(a 0, f 0 ) < (A, בסתירה למקסימליות ) 0.(A 0, f ( ) תהי (,X) קבוצה סדורה-חלקית. נסתכל על C קבוצת כל השרשראות ב- X. C. נניח בשלילה שלא קיים איבר מקסימלי אבל לכל שרשרת יש חסם מלעיל. כלומר, לכל שרשרת c יש חסם מלעיל ממש. לכל c C נתסכל על קבוצת החסמים-מלעיל-ממש y}.a c = {x X : y C x > מאקסיומת הבחירה, יש פונקציה f : C X כך ש- y f(c) > לכל y. c המטרה היא להגדיר שרשרת באמצעות f. 24 קיימת (ויחידה) פונקציה. כאן גם יכולנו להסתכל על קבוצה שבה איבר בודד. 34

5 הלמה של צורן 5.2 הלמה של צורן נאמר שקבוצה A קונפורמית (ביחס ל- f ) אם היא סדורה היטב (ובפרט A) C כך שלכל.f(S A (x)) = x (S A (x) = {y A : y < x}) x A נראה שקיימת קבוצה קונפורמית מקסימלית ;A 0 נקבל סתירה, כי )} 0 A = A 0 {f(a קבוצה קונפורמית יותר גדולה (כי,S A (f(a 0 )) = A 0 אבל ) 0 f(a גדול מכל האיברים): נראה שהקבוצות הקונפורמיות מהוות שרשרת ביחס ליחס של רישא ) 2 C 1 C אם C 1 רישא של C). 2 כלומר, אם C 2 C, 1 קונפורמיות, נראה שאחת היא רישא של השנייה. נקבל שאיחוד הקבוצות הקונפורמיות ב- C קבוצה סדורה-היטב. קל להראות שזוהי קבוצה קונפורמית, והיא מקסימלית. טענה 43: הלמה של צורן = משפט השוואת עוצמות (אם Y X, קבוצות, או Y X או.( Y X הוכחה. נסתכל על הקבוצה } Y f : A חח"ע X, F = {(A, f) : A עם יחס ההרחבה )) 2 (A 1, f 1 ) (A 2, f אם A 1 A 2 ו-.(f 2 A1 = f 1 זוהי קבוצה סדורה-חלקית. אם (A α, f α ) α I שרשרת, נגדיר f : A Y,A = α I A α על-ידי (x) f(x) = f α כאשר f.x A α מוגדרת היטב כי קיים α כך ש-,x A α ואם x A α, A β בה"כ f כמו-כן,.f β (x) = f α (x) ולכן,f β Aα = f α זו שרשרת) ולכן (כי (A α, f α ) (A β, f β ) חח"ע על,A כי אם,x 2 A β,x 1 A α,x 1, x 2 A בה"כ ) β (A α, f α ) (A β, f ולכן.f(x 1 ) = f β (x 1 ) f β (x 2 ) = f(x 2 ו-( x 1 A β הראינו.(A, f) F ברור ש-( f (A α, f α ) (A, לכל,α לכן, מהלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ) 0.(A 0, f אפשרות אחת:,A 0 = X ואז Y. X אחרת,,A 0 X ואז f 0 על: קיים על, נבחר ) 0,y 0 Y \ f 0 (A ונרחיב את f 0 ל- f 1 : A 0 {x 0 } Y ;x 0 X \ A 0 אם f 0 לא f 0 (x) x x 0 = (x) f 1.f 1 חח"ע, ו-(,(A 0, f 0 ) (A 0 {x 0 }, f 1 בסתירה על-ידי y 0 x = x 0 למקסימליות ) 0.(A 0, f לכן f 0 : A 0 Y על = X. Y 13.6.2007 משפט 44 (הסדר הטוב): אקסיומת הבחירה (= הלמה של צורן) = לכל קבוצה X קיים סדר טוב. הוכחה. נסתכל על קבוצת כל הזוגות (R,A) כך ש-( X ) A P ו- R סדר טוב על A, עם יחס הסדר (A 2, R 2 ) רישא של (A 1, R 1 או ש-( (A 1, R 1 ) = (A 2, R 2 אז או ש-( (A 1, R 1 ) (A 2, R 2 ) ) 2 R 1 R 2,A 1 A למעשה,.(R 2 (A 1 A 1 ) R 1 ) (, היא דוגמה לאיבר כזה, וכן ({(x,{x}),x)} עבור x. X קל לראות שזו קבוצה סדורה-חלקית. נניח ש- (A α, R α ) α I שרשרת, ונראה ש-( α α I A α, α I R ( חסם מלעיל. למה ) α A α, R ( קבוצה סדורה-חלקית? רפלקסיביות אם,x A α קיים α I כך ש- R α.x A α יחס-סדר חלקי, לכן.(x, x) R α = (x, x) R α 35